PLoS ONE: Nonequilibrium Befolkning Dynamics of Fænotype Konvertering af kræftceller

Abstrakte

tumorigenese er en dynamisk biologisk proces, der involverer forskellige kræft celle subpopulationer prolifererende ved forskellige hastigheder og interconverting mellem dem. I dette papir foreslog vi en matematisk ramme af populationsdynamik, der anser både særprægede vækstrater og intercellulære overgange mellem kræft cellepopulationer. Vores matematiske ramme viste, at både vækst og overgang påvirke forholdet mellem kræft cellesubpopulationer men sidstnævnte er mere markant. Vi afledt den betingelse, at forskellige cancer celletyper kan opretholde karakteristiske subpopulationer og vi også forklare, hvorfor der altid eksisterer en stabil fast forhold efter celle sortering baseret på formodede overflademarkører. Fraktionen celle-forholdet kan flyttes ved at ændre enten vækstrater i de delpopulationer (darwinismen udvalg) eller ved miljørelaterede instrueret overgange (lamarckisme induktion). Denne indsigt kan hjælpe os med at forstå dynamikken i den heterogenitet af kræftceller og føre os til nye strategier for at overvinde kræft resistens

Henvisning:. Zhou JX, Pisco AO, Qian H, Huang S (2014) Nonequilibrium Population Dynamics of Fænotype Konvertering af kræftceller. PLoS ONE 9 (12): e110714. doi: 10,1371 /journal.pone.0110714

Redaktør: Gergely Szakacs, Ungarsk videnskabsakademi, Ungarn

Modtaget: Marts 24, 2014 Accepteret: September 20, 2014; Udgivet: December 1, 2014

Copyright: © 2014 Zhou et al. Dette er en åben adgang artiklen distribueres under betingelserne i Creative Commons Attribution License, som tillader ubegrænset brug, distribution og reproduktion i ethvert medie, forudsat den oprindelige forfatter og kilde krediteres

Finansiering:. Denne forskning blev støttet af National Science Foundation under Grant nr PHY11-25915 og iCore (Alberta, Canada). Den bidragyder havde ingen rolle i studie design, indsamling og analyse af data, beslutning om at offentliggøre, eller forberedelse af manuskriptet

Konkurrerende interesser:. Medforfatter Sui Huang er en PLoS ONE Editorial Board medlem. Dette ændrer ikke forfatternes overholdelse PLoS ONE Redaktionelle politikker og kriterier.

Introduktion

Under kræft progression, både udvikling og homeostatiske aktiviteter, tumorceller undergår fænotypiske ændringer såsom celledifferentiering, immun aktivering under inflammatorisk respons, eller epitelial til mesenkymale overgang (EMT). En omskifter af celle tilstand er drevet af genom-dækkende genekspression ændringer, der følger karakteristiske mønstre. For eksempel som svar på et signal, der fremmer differentiering, en population af umodne stamceller udtrykker proteiner

X og Y

, som er forbundet med den differentierede tilstand ( “differentieringsmarkør”) og nødvendige for fysiologiske funktioner de differentierede celler (fig. 1A). Genet tilsynsnetværk (GRN) koordinerer ændringer i ekspressionsniveauer af generne, der gennemfører specifikke fænotypiske tilstande af celler. GRN beskriver, hvordan de regulatoriske gener kontrollerer hinandens ekspression i en forudbestemt måde, som kodes i genomet (fig. 1B). Vi kan således repræsentere en celle tilstand ved dens ekspressionsmønster af

n Salg gener, hvor det er ekspressionen aktivitet af gen locus kvantificeres på niveauet af det genomiske locus, enten i form af transkripter eller proteiner. På grund af iboende ulineariteter af dynamikken i sådanne netværk, en rig struktur af staten rum (plads til alle konfigurationer af) med multipel tiltrækker regioner ( “multistability” = sameksistens mellem flere stabile stater) opstår således, at hver tiltrækning domæne kort ind i en særskilt cellefænotype eller adfærd, som vist i fig. 1C. De bassiner af tiltrækning inddeler netværkets tilstand plads og giver anledning til disjunkte stabile stater – indfange væsentlige egenskaber af celletyper [1]. Teorien, først foreslået mere end 50 år siden [2], [3], der (high-dimensional) “attraktorer” repræsenterer de forskellige celletyper i metazoiske organismer bygget fundamentet for at forstå celle tilstand overgangs- og celle populationsdynamik.

A. Tre celle stater med tydelig genekspression og. B. genregulatorisk kredsløb af X og Y afgør tre celletilstande. C. Hver stat er forbundet med en vækstrate hhv. Tre stater overgang til hinanden med omdannelsen satser.

En celle er den elementære enhed i en befolkning, hvis fødsel, død og forvandling begivenheder ligger til grund for populationsdynamik. Mange undersøgelser beskriver den cellulære overgang ved hjælp af en mester ligning enten i diskrete formalisme, ligesom Boolske netværk [4], [5], eller i kontinuerlig formalisme almindelige differentiering ligninger (ODE’er) [6] – [8]. Antagelsen af ​​masse bevaring er generelt bruges i modeller inspireret af hastighedsudtryk i kemi. Det er dog nødvendigt at der tages hensyn til, at cellulær multiplikation overtræder bevarelse masse. Afrejsen fra masse bevaring spontant ændre sandsynligheden tæthed i fravær af tilstrømningen /efflux til /fra staten. Dette begreb er af central betydning for at forstå dannelse væv, da celle populationsdynamik blive ikke-ligevægt dynamik. Forholdet mellem fraktioner af felter, der svarer til forskellige fænotyper ikke længere ubetinget nærmer sig en stabil tilstand, overvejer både celledeling og celle overgang. Sammen med overgangen sats, netto cellevækst (proliferation minus død) ændrer også overflod af celler i attraktor tilstand og dermed påvirker den besatte forholdet mellem attraktor stater, ændre den samlede væv kropsbygning.

I populationsbiologi, navnlig i studiet af evolution dynamik, har mange forskere modelleret heterogene populationer af forskellig art, der afviger i “egnethed” [9]. Et nært beslægtet matematiske teori om celle populationsdynamik er Luria-Delbrück teori, indledt af Luria og Delbrück og ekstensivt udviklet senere af Lea og Coulson, Kendall, Bartlett, Armitage og Doll og mange andre [10], [11]. Typisk i disse modeller, befolkning heterogenitet skyldes forskellige genotyper fremstillet ved genetiske mutationer i stedet for multistability og ikke-genetiske ( “epigenetiske”) overgange mellem flere attractor stater. Disse klassiske evolution modeller af cellepopulationer har spillet en vigtig rolle i analysen af ​​den somatiske udvikling af kræftceller, menes at være den vigtigste drivkraft for kræft progression [9], [12]. Men disse modeller stiltiende antager en en-til-en mapning mellem genotype og fænotype og antager tilfældige genetiske mutationer som mekanismen for cellefænotype switching.

Nylige fremskridt i pattedyrcelle omprogrammering og celle transdifferentiering har understreget vigtigheden af multistability og ikke-genetiske celle state overgange resulterer i ikke-genetiske celle populationsdynamik [13], [14]. I betragtning af sådanne ikke-genetiske dynamik vil føre til modeller, der adskiller sig fra klassiske populationsgenetik modeller i følgende punkter:

Vendbare

statslige overgange: Disse overgange er ofte omtrent symmetrisk mens mutationer i den traditionelle model er typisk irreversibel;

Hyppige

statslige overgange:. overgang sats ofte er i den samme tidsskala som division tid eller endnu hurtigere, mens mutation pr locus er meget langsommere end den division sats

Overgange er ikke strengt ikke-Lamarckiske. De kan induceres i en kontrolleret (målrettet) eller ukontrolleret måde, mens mutationer er tilfældigt instrueret og deres satser ikke let justerbar.

Det centrale fokus i dette papir er dynamikken i den cellulære sammensætning af en voksende cancer cellepopulation. Mere specifikt vi studere dynamikken af ​​den relative forekomst af distinkte cancercellelinier undertyper. Vi diskuterer også betingelserne for en kræftcelle befolkning til at opretholde den fast forhold og forskellige celletyper. Endelig studerer vi, hvordan overgange og vækstrater påvirker subpopulation forhold, når cellepopulation når ligevægt. Da den sande nyhed af denne forskning er at indføre tilstandsafhængig vækstrate til celle tilstandsovergang, generelt denne model kan anvendes til at beskrive celledifferentiering under embryogenese eller enhver celle populationsdynamik, hvor vækst og overgang begge spiller vigtige roller i samme målestok

Cell befolkning model for Transition og vækst Dynamics:. to fænotyper

Vi starter med en simpel model af kræft celle population med to fænotyper. Vi antager, at bimodal ekspressionsniveauer af markører kan modulere væksten. Den diskretisering af en celle population med kontinuerligt fordelte genekspression niveauer i to stater, og er tilegnet til at fange de karakteristiske populationsdynamik. Ikke-lineære dynamiske systemer har normalt stabile stabile tilstande (attractors) og systemet bør vende tilbage til attraktorer under rimeligt små forstyrrelser. Dynamikken i at vende tilbage til de attraktorer eller genetablere ligevægten efter perturbation er normalt en vigtig egenskab af ikke-lineære dynamiske systemer. Det hjælper os til at forstå den mekanisme af mange interessante biologiske fænomener i biologi, såsom polymorfi, homeostase etc. Her har vi først fastsætte betingelserne for sameksistensen af ​​de to fænotyper ved at karakterisere både eksistensen af ​​en steady-state-forhold på disse to typer og dynamikken ligger til grund for genetablering af ligevægten

Elementær model:. to-fænotype celle bestandsudviklingen

Vi anser dynamikken i en celle population med to interconverting tilstande ( “subpopulationer “), og med relative mængder, og som har deres egne fødselstal, dødelighed og statslige overgangsfrekvenser. Netto vækstrater (de mængder let målte) er, og hhv. De celle populationsdynamik herunder både cellevækst og stat overgang er beskrevet af den tilsvarende sæt ODE’er: (1)

Eq. (1) matrix repræsentation er givet ved: (2) hvor er en matrix med både vækst og overgang vilkår. Det er vigtigt at understrege, at der kun netto vækst kan måles pålideligt i cellekultur. Hvis er egenværdierne for i ligning. (2), den generelle løsning af denne lineære ODE system er: (3)

Den langsigtede dynamiske egenskaber af denne dynamisk system bestemmes derefter ved de to egenværdier. Der er to forskellige funktionsmåder hvis egenværdierne enten har modsatte tegn eller samme tegn. Når de to egenværdier har modsatte fortegn, dvs. vækst sigt er forbundet med den negative egenværdi henfalder eksponentielt. I denne situation de to cellepopulationer har stort set de samme vækstrate, defineret af den positive egenværdi med kun forskellige præ-faktorer

A

11 (når

) og

A

22

(

når

). Dette indikerer, at kun en delpopulation kan overleve uafhængigt mens den anden delpopulation lever som den afledte af den anden.

Når de to egenværdier har de samme tegn, dvs, er vi nødt til at overveje, om de er enten positive eller negative . Hvis begge egenværdier er positive, de to subpopulationer overleve sammen. På lang sigt vil begge populationer vokse med samme hastighed, defineret af større egenværdi. Endelig, hvis begge egenværdier er negative, så begge subpopulationer uddør sammen. Matematisk eftersom produktet af de to egenværdier er determinanten af ​​matrixen

T

er betingelsen for de to egenværdier med samme fortegn kan skrives som: (4)

Derfor, hvis vækstraterne for begge fænotyper er langt større end de statslige konverteringer, dvs, skal de to subpopulationer kan både overleve på egen hånd. Men hvis en af ​​de to populationer har en overgang rate større end sin division sats, denne population kan kun overleve som et “

derivat

” den anden (som det afhænger af “tilbageløb” fra den anden) . Denne simple matematiske observation har konsekvenser i ikke-genetisk resistens (persistors) [15], [16]. Hvis omregningskurserne for begge delpopulationer er meget større end deres respektive vækstrater, sondringen af ​​de to diskrete celle fænotyper bliver sløret. Interessant nok i dette tilfælde ingen af ​​subpopulationer kan overleve alene. Vi kan betragte disse to populationer som en eneste med en gennemsnitlig vækstrate på. Således ved at undersøge overgangsfrekvenser i regimer aldrig overvejet i mutation-baserede populationsdynamik (fordi mutationer er sjældne), går vi en dynamisk ordning, der er relevant for celle populationsdynamik, hvor ikke-genetiske fænotype konverteringer dominerer.

Vi kan bestemme befolkningen forholdet mellem de to subpopulationer i dette regime. Eftersom på lang sigt både populationer vækst er givet ved udtrykket med de større egenværdi, dvs. deres forhold er væsentlige

en

21 /A

22

. Dynamikken i follow (5)

Derfor steady-state-forhold brøkdel af er (6), hvor vi betegne som forskellen netto vækstrate på med hensyn til den for divideret med overgangen sats fra til. Mens befolkningen forholdet holder stille, kan begge populationer af og øges uendeligt. Dette resultat afviger fra klassiske populationsdynamik, hvor sameksistensen af ​​to populationer af forskellige vækstrater er ikke stabilt på grund af en retning konvertering (mutation). Faktisk nylige arbejde med klonale (isogene) cancercellepopulationer viste, at de består typisk af flere interconverting diskrete subpopulationer forbundet med biologisk relevante funktionelle egenskaber, såsom stamme-lignende opførsel, lægemiddel-efflux kapacitet [14], [17] og differentiering [13]. Den eksponentielle vækst ved et konstant forhold

r *

også enig med den observation, at celler, der er kontinuerligt passerede i cellekultur holde fast forhold mellem undertyper; den samlede befolkningstilvækst er da givet ved: (7)

Spørgsmålet er nu: Kan vi kvantificere de forskellige påvirkninger af det observerede celle fast forhold fra vækst- og overgangsfrekvenser? En mulig biologisk fortolkning er, at ændringer i og i forhold til hinanden repræsenterer forskellen fitness i et givet miljø, som kan fremme darwinistisk udvælgelse. På samme måde, kan ændringer i repræsentere Lamarcks teorier undervisning i den forstand, at et givet miljø kan pålægge differentierede overgangsfrekvenser mellem forskellige fænotyper. Dette giver en simpel matematisk ramme til at beskrive den relative bidrag af darwinistisk udvælgelse og Lamarcks teorier undervisning i skiftende befolkningstal nøgletal under tumor progression under kemoterapi.

Re-ligevægt i to fænotyper cellepopulation

Det er let at opnå tidsforløbet for dynamikken i re-ligevægt i subpopulationer ved at finde integralet løsning for Eq. (5). Til hjælp for integrationen, ændrer vi variablen til og integrere den fra den oprindelige cellepopulation forholdet til forholdet på enhver vilkårlig tid: (8)

Da hvor er givet ved ligning. (6), har vi

(9)

Dette resultat antyder, at re-ligevægt tid er i størrelsesordenen. Vi kan også benchmarke denne ligning med to ekstreme tilfælde, hvis overgang satser er indlysende. Den indledende sats for fornyet ligevægt starter med en ren subpopulation, dvs, er givet ved: (10), mens oprindelige sats for re-ligevægt starter med ren, dvs, kan skrives som: (11)

i det generelle tilfælde, re-ligevægt sats er en dynamisk proces, der kombinerer både Eq. (10) og (11). Eq. (5) også forudser, at der er to typer af re-ligevægt dynamik. Den højre side af Eq. (5) når sit maksimum (12) med den sats (13)

Derfor, hvis, dvs. forskellen i vækstrater er større end forskellen på overgangsfrekvenser, man forventer, at re-ligevægt kan være beskrevet af en S-formet kurve langs tid. Satsen for re-ligevægt stiger med tiden indtil, efterfulgt af en faldende rente. Dette er vist i fig. 2A og 2C. Men hvis, dvs. forskellen i vækstrater er mindre end forskellen i overgangsfrekvenser, satsen for re-ligevægt dynamik, der starter ved

r

= 0, falder monotont med tiden. I dette tilfælde tidsforløbet for re-ækvilibrering følger en eksponentiel mætningskinetik (monotont voksende, før den når mætning), som vist i fig. 2B og 2D.

A. Cell differentierede vækstrater er større end differentierede celle overgangsfrekvenser. Den tid derivat af celle-forholdet er ikke-monoton før de når fast forhold. B. Cell forskellen vækstrater er mindre end forskellen celle overgang sats. Den tid derivat af celle-forholdet er monotont aftagende, før de når den fast forhold. C. Cell re-ligevægt dynamik er formet til den tilstand, der er vist i AD Cell re-ligevægt dynamik er logistisk for tilstanden vist i B.

Cell Befolkning Model for Transition og vækst Dynamics:

M

-Phenotypes

Under udviklingen af ​​flercellede organismer, som regel mere end to celletyper dannes. Dette indfører kvalitativt nye egenskaber ikke set i den klassiske to-stats overgang model. For at undersøge dette fænomen, vi udvidet vores matematiske formalisme ovenfor til celle fænotyper: (14)

Her er det respektive antal celler af fænotyper i cellepopulationen. Hver fænotype har en respektiv vækstrate; er staten overgangsfrekvenser fra celle fænotype

jeg

at fænotype

j

. Da dette er et lineært system, kan den højre side nedbrydes som en sum af en diagonal matrix og en Markov matrix. Matrixen form af Eq. (14) kan skrives som: (15)

Her er en positiv diagonal matrix med vækstrater og er en Markov matrix bestående af overgangsfrekvenser. Summen af ​​hver kolonne i er nul på grund af princippet flux bevaring. Dette betyder, at der er mindst én nul egenværdi for Markov matricen, som sikrer, at der findes en stabil tilstand, hvis systemet er en overgang kun dynamiske system (

G

= 0). Hvis vækstrater er ikke nuller, vil der være en stabil tilstand for celle relative forhold i stedet for en absolut celle nummer, vist i den følgende ligning. Vi kan så etablere det matematiske forhold mellem væksten og overgangen hastighed, som er nødvendig for at opretholde adskilte epigenetiske fænotyper og den faste celle-forhold. Hvis matricen har egenværdier, så den generelle løsning af Eq. (15) er (16)

Her er konstanter bestemmes af de oprindelige betingelser i det dynamiske system. Hver delpopulation er den lineære kombination af nogle eksponentielle vækst funktioner. Derfor er der ingen nontrivial steady-state, som den gør i tilfælde af overgang-only dynamik, dvs. dette lineært system repræsenterer en ideel verden med rigelig næringsstoffer i hvilke celler kan vokse i det uendelige.

Sameksistens eller co-udslettelse af

m

distinkte celle subpopulationer kræver egenværdier, der opfylder enten eller. Da vi ønsker cellepopulationen at opretholde de forskellige fænotyper, de vækstrater for alle fænotyper nødt til at være meget større end summen af ​​de statslige konverteringer: efter, kan de delpopulationer overleve på egen hånd. Men hvis en af ​​de befolkninger har en overgang rate større end vækstraten, denne population kan kun overleve som et “

derivat

” af de andre (som igen det afhænger af “tilbageløb” fra de andre) . Hvis på den anden side alle subpopulationer har omregningskurser meget større end deres vækstrater, bliver sondringen af ​​flere diskrete cellefænotyper sløret. I denne situation vil der kun være én celle population med subpopulationer hurtigt skiftes mellem hinanden, og på grund af, at ingen af ​​subpopulationer kan overleve på egen hånd.

Biologiske eksempler og tolkning

I denne afsnit vil vi eksemplificere de begreber, der er beskrevet ovenfor, bruge eksperimentelle data for kræft celle populationsdynamik. Det er velkendt, at de enkelte tumorer havnen adskillige cellulære fænotyper og hver fænotype har forskellige biologiske egenskaber, såsom vækstrater, migration evner og narkotika reaktioner. For eksempel er cancer stamceller regel forbundet med tumor-initiering, metastaser og medikamentresistens. En af de største udfordringer, som kræftforskning står er resistens over for lægemidler. Der er to hypoteser om oprindelsen af ​​resistens over for kemoterapi eller radioterapi [18]. Den første hypotese foreslår præ-eksistensen af ​​resistente subpopulationer, som er i stand til at overleve i nærvær af lægemidlet og til at udvide under og efter lægemiddelbehandling. Den anden hypotese forudsætter, at kræftceller er fænotypisk plast og i stand til transit mellem narkotikarelaterede følsomme og resistente stater. I vores tidligere undersøgelser [19] har vi modelleret svaret af akutte leukæmiceller HL60 at kemoterapeutiske stoffer at skelne disse to mulige mekanismer for resistens. I betragtning af at konstitutiv ekspression af

ABC

transportører er normalt forbundet med multiresistens, vi målte udtryk og aktivitet af

ABCB1 /MDR1

transportør før og efter lægemiddelbehandling. Vi fandt, at i HL60 cellepopulation der to subpopulationer, MDR1

Lav og MDR1

Høj, som henholdsvis korrelerer med lav eller høj overlevelse i nærvær af lægemiddel (fig.3). De to subpopulationer kan spontant interconvert indbyrdes, med en stabil sameksistens forhold på 98:2 (MDR1

Lav: MDR1

Høj) uden lægemiddel (Fig.3A) og 60:40 med narkotika (3B ). Vores resultater har vist, at reaktionen på lægemiddel overvejende var kontrolleret af ændringen i overgangen sats, snarere end ved differentiel vækstrater. Her udvidede vi vores konceptuel tilgang til at studere statslige overgange i en brystkræft eksperimentelt system med tre mulige fænotyper [20].

Leukæmi cellelinje HL60 har to subpopulationer, MDR

Høj og MDR

Lav, baseret på deres evner til at fastholde CalceinAM fluorescerende farvestof (flowcytometri profiler), som målt ved flowcytometri. Den flowcytometri histogrammer svarer til et øjebliksbillede af cellepopulationen på et givet tidspunkt. I dette særlige tilfælde parameteren er en ophobning af et fluorescerende farvestof, CalceinAM, der fungerer som et surrogat for ABC transportører aktivitet og multilægemiddelresistens: hvis cellerne bevarer farvestoffet, ABC transportører er ikke aktiv og cellen er følsom over for lægemiddel; hvis cellerne ikke akkumuleres farvestoffet, ABC transportører er aktive og cellen er resistent over for lægemiddelbehandling. A. I fravær af lægemiddel de to subpopulationer sameksistere på et stabilt celle-forhold, MDR

Høj = 2% og MDR

Lav = 98%. B. Når cellerne behandlet med 10 nM vincristin i 72 timer andelene skifte til MDR

Høj = 40% og MDR

Lav = 60%. For yderligere oplysninger henvises til Pisco et al [17].

Tre-fænotype overgang mellem brystkræft stamceller og differentierede kræftceller

Brystkræft cellelinjer SUM159 og SUM149 viser tre forskellige adfærdsmønstre, baseret på formodede celle-overflademarkører: stamceller-lignende celler (CD44

høj CD24

neg EpCAM

lav), basale celler (CD44

høj CD24

negativ EpCAM

negative) og luminale celler (CD4

lav CD24

høj EpCAM

høj) [20]. Gupta et al [18] har vist, at SUM159 celle population er overvejende basal, med en tilhørende fast celle ratio på 97,3% basal (B), 1,9% skaft (S) og 0,62% luminale celler (L). På sin side cellelinie SUM149 består overvejende af luminale celler, med en respektiv del af 3,3% basal (B), 3,9% skaft (S) og 92,8% luminale celler (L). I undersøgelsen, forfatterne viste, at hvis de tre forskellige celle stater FACSorted baseret på deres overflademarkører, og de relativt rene cellesubpopulationer lodes vokse i regelmæssige dyrkningsbetingelser, alle sorteret rene cellesubpopulationer hurtigt genvundet den oprindelige cellepopulation ratio. Det er så vigtigt at spørge, hvorfor tumorer opretholde denne heterogenitet med fast forhold, og hvad er de mekanismer, der fører den hurtige lempelse af sorterede celle delpopulationer tilbage til den oprindelige forhold.

Gupta et al [20] anvendte en Markov model til at beskrive de re-ligevægt dynamik celle subpopulationer. Selvom Markov-modellen er i stand til at forklare eksistensen af ​​stabile celle fraktioner ‘forholdet, og kan også fange dynamikken i cellens stater, der er to ulemper, når man sammenligner med en ODE model. For det første har Markov model omskalerer den totale cellepopulation til 1 på hvert tidspunkt trin, maskering indflydelsen af ​​forskellige vækstrater for subpopulationer. Sandsynligheden for at forblive i samme tilstand i Markov-modellen, hvilket svarer til væksten i ODE model, vil give cellen ratio for steady state, men kan ikke forudsige den effektive vækstrate for hele cellepopulationen. For det andet, er re-ligevægt sikret på en Markov-processen, så længe sandsynligheden for overgange er bevaret (fx hver række af sandsynligheden overgangsmatricen tilføje op til 1). Men der er nogle subtile forbindelser mellem vækstraterne og overgangen satser, der er gået glip af Markov model, som at vækstraten og overgangen sats har brug for at tilfredsstille betingelsen i Eq. 6 for at nå steady state, og betingelserne for sameksistens eller afledte eksistensen af ​​forskellige subpopulationer. Den kvantitative model udviklet i afsnit 3 anvendes til at behandle disse spørgsmål. Vi er i stand til ikke blot at undersøge behovet for at nå et fast forhold mellem forskellige cellesubpopulationer, men også at karakterisere tilstanden af ​​sin eksistens i en multiple celle-type og kontinuerligt voksende cellepopulation. Hvis vi antager for subpopulationer, som kæden reglen om differentiering,, dynamikken i follow: (17)

For at få steady state af celle nøgletal, vi har sat i Eq. (17) ovenfor. Dette fører til en dobbelt andengradsligning, som ikke har nogen analytisk løsning i almindelighed. Dog kan dette løses med numeriske metoder.

Selv hvis befolkningstal blevet stationær, det absolutte celleantal af subpopulationer, og kan øge det uendelige. I den situation, hvor vækstraterne er mindre end overgangsfrekvenser, overgangen matrix er overvejende en Markov matrix, der opfylder princippet flux bevaring, da det kun har én positiv egenværdi, mens alle andre er negative. Alle cellesubpopulationer vokser nøjagtigt på en enkelt vækstrate og deres forhold vil blive bestemt af de oprindelige konstanter (se ligning (16).). Derfor subpopulationer næsten svarer til den samme celletype med forskellige ekspressionsniveauer for biomarkør

X

og ingen af ​​dem kan overleve som selvstændig celletype. I praksis vil sådanne hurtige overgange manifestere sig som udsving i genekspressionsprofiler, der bidrager til den observerede befolkning heterogenitet i snapshots. Som udforsket i Pisco et al. [19], ændringer i og kan repræsentere forskellen fitness i (mutation-mindre) darwinistisk udvælgelse hvorimod ændringer i kan repræsentere Lamarckiske instruktion.

Ved at sammensætte væksten-overgangen lineær ODE model af Eq. (14) med steady-state befolkning brøkdel af af Eq. (17), kan vi vurdere vækstrater og staten overgangsfrekvenser Der er i alt ni ukendte variable (3 vækstrater og 6 overgang satser), men vi har kun 2 ligninger (med for SUM159 celle afstamning og for SUM149 celle afstamning). Løsningerne er ikke fastsat, fordi der ikke var nogen målinger til vækstrater eller re-ligevægt for hver celle population. Men da fraktion celle nøgletal eksperimentelt måles på dag 0 og på dag 6 [18], kan vi køre parameter scanning for at finde de værdier, som passer forholdene bedst på dag 0 og dag 6. Den grundlæggende procedure for parameter scanning omfatter to trin: først, er rækken af ​​scanning værdier og intervaller anslået for hver parameter; For det andet blev en stor parallel trial-and-error test for at finde de parametre, som bedre passer til reækvilibrering data.

cellepopulation model med vækst og inter-omdannelse er vist i fig. 4A. De vækstrater og overgangsfrekvenser for SUM159 cellelinie, opnået fra parameteren scanning, er anført i tabel 1. egenværdier er de værdier, der giver den bedste pasform af de eksperimentelle data. Som vi viste i afsnit 3, de karakteristiske celle subpopulationer og sameksistens eller co-udslettelse af dem kræver tre egenværdier at tilfredsstille alle. Derfor kan disse tre celletyper sameksistere. En anden kriterier er at kontrollere, om de vækstrater for alle fænotyper er meget hurtigere end summen af ​​de statslige konverteringer, dvs. sådanne, at de tre subpopulationer alle kan overleve på egen hånd. Den samme fremgangsmåde blev anvendt til SUM 149 celle afstamning at opnå de vækstrater og overgangen satser, som vist i tabel 1. Ved at beregne egenværdierne vi har indgået, at subpopulationer af SUM149 også kan sameksistere. Når vi kontrollere forholdet mellem vækstraterne og overgangen satser, vi har, viser, at de tre subpopulationer alle kan overleve på deres egen såvel.

A. Illustration af cellevækst og overgang til brystcancercellelinie med tre forskellige cellefænotyper: luminal celle, basalcelle og brystkirtler stamcelle. B1-B6. Efter FACS sortering, hver isoleret subpopulation af cellelinie SUM159, stængel-lignende, basal og luminale celler, re-ækvilibrere til den stabile celle-state-forhold. Øvre paneler er dynamikken for celleantal af tre subpopulationer; Lavere paneler er dynamikken for cellen forhold mellem tre subpopulationer. C1-C6. Efter FACS sortering, hver isoleret subpopulation af cellelinie SUM149, stængel-lignende, basal og luminale celler, re-ækvilibrere til den stabile celle-state-forhold. Øvre paneler er dynamikken for celleantal af tre subpopulationer; Lavere paneler er dynamikken for cellen forhold mellem tre subpopulationer.

Dynamikken for fornyet ligevægt i SUM159 cellelinje er vist i fig. 4B1-B6. Vi kan tydeligt se, at efter celle sortering hver celle delpopulation hurtigt reækvilibreret til den stabile steady-state forhold

r *

=

N

X

:

N

Y:N

Z

≈1.9:97.3:0.62 inden for 12 dage. Men da SUM149 cellelinie generelt har meget langsommere overgang sats, befolkningen langsomt igen ækvilibreret til den stabile steady-state-forhold til udgangen af ​​den 140 dage tidsforløb, som vist i fig. 4C1-C6. Vores beregningsmæssige resultater for begge cellelinier kvalitativt enig med de eksperimentelle data og Markov model simulering resultater præsenteret i Gupta

et al

[18], som viste, at SUM159 celler hurtigt tilbage til ligevægt, mens SUM149 celler var langt fra nå ligevægt på dag 6. Desuden ODE model afslørede mere information om kræft populationsdynamik.